1. CONJUNTOS NUMÉRICOS - LOS NÚMEROS COMPLEJOS
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| 1.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES |
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El
ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS,
lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números
tales como:1,3, y sus
correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales
para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza
con un sistema mas primitivo – tal como el conjunto de los números
naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él,
por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se
construye el sistema de los números reales.
En el segundo método se hace
una descripción formal del sistema de los números reales
(asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades
(axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse.
En esta primer parte, se hará
una presentación intuitiva del conjunto
de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es
el conjunto N de los números naturales y se efectúan
las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de
resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo
resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático
del mismo. |
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| 1.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES | ||||||||||||
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| El conjunto
de los números reales está constituido por diferentes clases
de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:
1.2.1. Conjunto de los números
naturales.
El conjunto de los números
naturales, que se denota por N ó también por Z+,
corrientemente se presenta asi:
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
La notación de conjunto que
incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar
las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos,
y lleva principalmente a la consideración de los números
reales.
1.2.2. Conjunto de los números
enteros.
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3,...}
En el conjunto de los números
enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en
N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya
solución es x = -2.
Puede notarse que N
ÌZ.
1.2.3. Conjunto de los números
racionales.
El conjunto de los números
racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera:
Q =
/ m, n son enteros y n 
La introducción de los números
racionales responde al problema de resolver la ecuación:
ax = b, con a, bÎ
R, a ¹ 0.
Ésta sólo tiene solución
en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b.
Note que todo entero n puede
escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia,
se puede concluir que:
Z Ì Q.
En lo sucesivo, cuando se haga referencia
a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que
a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son
diferentes de cero.
1.2.4. Conjunto de los números
irracionales.
En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2.
Puede demostrarse fácilmente,
que no existe X ÎQ
que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación
de la forma xn = a, con a ÎQ
y n ÎN,
carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace
por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones
como las anteriores tengan solución.
El conjunto de los números
irracionales, que se denota por Q*, está constituido
por los números reales que no admiten la representación racional.
Ejemplos de esta clase de números
son: el número e (base del logaritmo natural), p
,
 , etc.
En este conjunto, se pueden resolver
ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por
ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones
son: x =
 , que no son números
racionales.
1.2.5. Finalmente se define
el Conjunto R de los números reales como: R =Q È
Q*.
En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo).
1.2.5.1. Axiomas de campo
A.C.1. Uniforme
A.C.2. ConmutativaSi se suman entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. A.C.3. AsociativaPara todo a, b Î R , A.C.4. ModulativaPara todo a, b, c Î R , A.C.5. InvertivaExiste el real 0 (cero) tal que para todo a ÎR , A.C.6. DistributivaPara cada número real a, existe un real único llamado el opuesto de a, y que se denota –a tal que: Para todo a, b, c, Î R , a. (b+c) = a.b + a.c
CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LOS
AXIOMAS DE CAMPO
A continuación se presenta
sin demostración las consecuencias mas importantes de los axiomas
de campo. Mas que una simple lista, son propiedades conocidas por el estudiante
y que le serán bastante útiles en el desarrollo del curso.
En algunas demostraciones de los teoremas del cálculo, haremos referencia
a ellas.
C1. Ley cancelativa para la adición
(multiplicación)
x + y = x + z Þ
y = z
Si x ¹
0, entonces, xy = xz Þ
y = z
C2. Para todo a, b ÎR , la ecuación: x + a = b, tiene una y solo una solución en R.
C3. Para todo x ÎR
, x . 0 = 0
C4. x . y = 0 Þ
x = 0 v y = 0.
C5. Para todo x ÎR
, si x ¹ 0,
entonces x-1 = 1/x ¹
0.
C6. Si y ¹
0, entonces,
 .
C7. Para todo x ÎR
, -(-x) = x.
C8. Si x ¹
0, entonces, (x-1)-1 = x.
C9. Para todo x, y ÎR,
-(x+y) = (-x) + (-y).
C10. Si x ¹
0, y ¹ 0, entonces:
(xy)-1 = x-1.y-1. Equivalentemente:
C11. Si b ¹
0, d ¹ 0, entonces,
C12. Si b ¹
0, d ¹ 0, entonces,
C13. Si b ¹
0, d ¹ 0, entonces,
C14. Para todo x ÎR
, -x = (-1)x.
C15. (-1) . (-1) = 1.
C16. (-x) . (-y) = x.y.
C17. -(xy) = (-x)y = x(-y).
C18.
, y ¹ 0
C19. x(y-z) = x.y – x.z.
C20. (x-y) + (y-z) = x - z.
C21. (a-b) - (c-d) = (a+d) – (b+c).
C22. (a+b) . (c+d) = (a.c + b.d)
+ (a.d + b.c).
C23. (a-b) . (c-d) = (a.c + b.d)
- (a.d + b.c).
C24. a - b = c – d Û
a + d = b + c.
C25. Si x2 = x . x, entonces,
x2 – y2 = (x-y) . (x+y).
1.2.5.2. Axiomas de orden
Los axiomas o propiedades del sistema
de los números reales que se enuncian a continuación se expresan
en términos de un cierto subconjunto especial de R (este
subconjunto denotado por R+ se identifica con el conjunto
de los reales positivos). En general, cualquier campo que tenga un subconjunto
P con las propiedades mencionadas a continuación, es llamado un
campo ordenado. En el caso particular que se estudiará, estas
propiedades permiten establecer que el sistema de los números reales
es un campo ordenado.
A.O.1. Existe un subconjunto R+
de R tal que:
Los elementos a ÎR , para los cuales a ÎR+, serán llamados: reales positivos.i) Si a, b ÎR+, entonces a + b ÎR+
Los elementos a ÎR
, para los cuales -a ÎR+,
serán llamados: reales negativos.
DESIGUALDADES
Usando solamente el subconjunto
R+ descrito en A.O.1., se deducen todas las reglas usuales
en el trabajo con desigualdades de números reales.
Definiciones
Sean x, y números reales.
Los símbolos "<" y ">" (que se leen: "menor que" y "mayor que" respectivamente) se definen por las afirmaciones: Los símbolos "
x
y Ûx <
y v x = y
x
 y
Û x > y v
x = y Cada una de las expresiones: x < y, x > y, x a es negativo Û a < 0
Las propiedades siguientes, que enunciamos
sin demostración son consecuencia inmediata de la propiedad de orden
y serán útiles en el trabajo con desigualdades.
CONSECUENCIAS PRINCIPALES DE LA
PROPIEDAD DE ORDEN
01. Tricotomía.
02. Transitiva. 03. Si x, y, z ÎR , entonces: 04. a > b > 0 ^ c
d > 0 Þ a.c
> b.d.
05. Las siguientes reglas de los signos para la adición y multiplicación de reales se cumplen: 06. a < b ^ c > 0 Þ a.c < b.c.
a < b ^ c < 0 Þ
a.c > b.c.
Las dos propiedades anteriores, muchas veces se expresan diciendo que si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por una cantidad positiva, el sentido de la desigualdad se conserva, mientras que si se multiplican por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia.07. Para todo x ÎR , x2 0
x2 = 0 Þ
x = 0.
08. x > 0 Þ
09. x > y > 0 Þ 
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
DE LOS NÚMEROS REALES
Una manera de representar geométricamente
los números reales, consiste en tomar una recta generalmente en
forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0
(cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha.
Se considera que cada punto de la
recta corresponde a un número real y viceversa, a cada número
real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta. Se establece de
esta forma, una correspondencia biunívoca entre los números
reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante
que cada punto "es" un número real. A la recta sobre la cual se
hace representaciones de los números reales, se seguirá llamando:
RECTA REAL, ó, también, RECTA NUMÉRICA.
Recurriendo a la idea de distancia
y tomando como unidad de longitud el segmento de recta entre 0 y 1, que
en adelante se llamará segmento unitario; como punto de partida
el 0, que en adelante se llamará origen; como números
positivos los puntos que se dan a la derecha del origen y negativos, los
que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunos números
reales. Así, para localizar los números enteros, se lleva
sucesivamente, y a ambos lados de 0 y 1, el segmento unitario como aparecen
en la figura adjunta.
Existe una construcción geométrica
sencilla para localizar números racionales en la recta real. Ilustremos
el procedimiento por medio de un ejemplo. Para representar, digamos el
número racional 12/5, se traza por el origen 0 de la recta real
una segunda recta oblicua y a partir de 0 se marcan cinco (5) segmentos
iguales sobre la oblicua con extremos en P1, P2,
P3, P4 y P5. (Ver fig. 2).
En consecuencia, cada punto de corte
en la recta real corresponde en forma sucesiva a los racionales: 3/5, 6/5,
9/5, 12/5 y 15/5 entre los cuales se encuentra el racional que se quería
representar en la recta.
Para los enteros positivos que no
son cuadrados perfectos, se puede demostrar que su raiz cuadrada es un
número irracional, cuya localización en la recta numérica
se logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitágoras
(Ver fig. 3).
Otros números irracionales
como p
 3.1415927...
y e 2.7182818... serán
localizados en su forma decimal aproximada.
1.2.5.3. Intervalos
Dentro de los subconjuntos infinitos
del conjunto de los reales, se destacan 9 de ellos, llamados intervalos
y que se definen de la siguiente forma:
Definiciones
Sean a, b ÎR , con a < b.El conjunto de puntos { x ÎR / a < x < b} se llama: INTERVALO ABIERTO de extremos a y b. Se denota por (a, b). Así que:(a, b) = { x ÎR / a < x < b} y geométricamente se representa en la recta real en la forma:
1.2.5.4. Valor absoluto
Definición
Sea x ÎR
. El valor absoluto de x, denotado por:
se define:
Asi,
 ;  ; 
El valor absoluto de un número
real x es siempre positivo o cero y se interpreta geométricamente,
como la distancia del punto x al origen (fig. 12). Igualmente,
se interpreta como la distancia del punto x al punto y en la recta real
(fig. 13).
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
V.A.1. Para todo x ÎR
,
 y 
V.A.2.
V.A.3.
 ,
para todo x, y ÎR
.
V.A.4.
V.A.5.
V.A.6.
V.A.6’.
>V.A.7.
siempre que 
V.A.8.
siempre que 
V.A.9.
siempre que a > 0
V.A.10.
V.A.11.
 ,
para todo x ÎR
.
V.A.12. (desigualdad triangular).
Para todo x, y ÎR
,
En que caso se verifica la igualdad?
(compruebe).
V.A.13.
V.A.14.
A manera de ejemplo, y con el objeto
de que el estudiante, se acostumbre a efectuar demostraciones de resultados
sencillos, se demostrarán las propiedades: V.A.7. y V.A.14. (Ejercicios
resueltos 2 y 3)
1.2.5.5 SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES
En una desigualdad que envuelve una
incógnita, dígase la letra x, un valor particular de x satisface
la desigualdad, si al reemplazar x por su valor particular (en todas sus
ocurrencias) la convierte en una proposición verdadera.
Asi por ejemplo, x = 1 es un valor
particular de x que satisface la desigualdad: 3x-1 < x+5 ya que 3(1)-1
< 1+5. Mientras que x = 4 no es solución particular.
Resolver una desigualdad es encontrar
el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera.
En contraste con una ecuación, cuya solución, en general
es un número o quizá un conjunto finito de números,
el conjunto solución, de una desigualdad consta por lo común
de un intervalo, unión infinita de intervalos y en algunos casos
el conjunto vacío.
Asi, el conjunto solución
de la desigualdad: x2 – x < 6 es el intervalo (-2, 3); el
conjunto solución de la desigualdad x2 – x
6 es (-¥ , -2]
È [3, +¥
) y el conjunto solución de la desigualdad x2 + 5 <
4 es el conjunto vacío (porqué?).
El procedimiento para resolver desigualdades
consiste en transformar la desigualdad inicial en una desigualdad EQUIVALENTE
(tiene las mismas soluciones). Las herramientas principales para hacerlo
es el uso adecuado de las propiedades de orden y sus consecuencias. Ello
implica que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin
cambiar el conjunto solución. En particular:
Se puede sumar (restar) la misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad. | ||||||||||||
y luego cuatro rectas paralelas a la anterior y que pasen por los puntos
P1, P2, P3, P4 y P5.
(a, b), b 
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